こんにちは。β（ベータ）です。今回は、背理法について書いていきたいと思います。引用”世界一美しい数式「e^(iπ)=-1」を証明する”。
「√2は無理数ではない。
√2=m/n…①。（m、nは１以外に公約数がない）。両辺にnをかけて２乗する。
2n²＝m²…②。m²は２の倍数。mが２の倍数でなければ、ｍ²は２の倍数にならない。
mは２の倍数。
ｍ＝2k（ｋは整数）…③。②に代入する。
2n²=4k²。n²=2k²でn²は２の倍数。
nも２の倍数…④。③、④より。
m,nは２を公約数に持つ。①に矛盾する。
√2は無理数。」（ここまで上記の書籍を引用）
ここからは僕のアイデアとなります。結論から言うと、m、nは１以外に公約数がない、という点に関しては、mとnは互いに素、つまりmとnが素数か、互いに素な合成数の場合となります。つまり、ここからは、mとｎが素数などの１以外に公約数がない場合以外のケースとなります。
加えて、√2が有理数である場合があるならば、√2=(uk)/(2t²)となります。つまり、√2が有理数である場合があるならば、√2=合成数 / ( 2 x 二乗式)となります。
m、nは1以外に公約数がないという前提は、ｍとｎが素数という前提に立っているではないのでしょうか。ここで、nとmをNとMに置き換えて、N=n/t、M=m/uと置くと、背理法により√2=(uk)/(2t²)が√2の有理数であることが分かります。
√2=m/nは分母と分子が共に素数である前提でしたが、仮に√2に有理数があるとすれば、uk=合成数、2t²=2乗式から成り立つことが分かります。√2=(uk)/(2t²)の求め方については後日詳細を示します。（人生学習）。
√2は連分数で(uk)/(2t²)近くを探します。(目視確認)
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