こんにちは。β（ベータ）です。今回のテーマは、A²＋AB＋B²＝０についてAとBを求めたいと思います。
まず、A²＋AB＋B²＝０をA²＋AB＋B²＋１−１＝０と置きます。そして、式を分離します。A²＋B²−１＝０とAB＋１＝０とします。
A²＋B²＝１、AB＝−１なので、A=ー１/BをA²＋B²＝１に代入します。
（−１/B）²＋B²＝１なので、両辺をB²倍すると−１＋B⁴＝B²なので、B⁴ーB²＋１＝０です。
解の公式によりBを解きます。しかし、B²＝Xと置きます。
X²ーXー１＝０となり、解の公式よりX＝（１±√（１−４））/２＝１±√(3)i / 2です。
B²＝(１±√(３)i) / 2であり、B＝√((１±√(3)i)/2)となります。
(√M＋√N)²＝M＋N＋２√(MN)を導入します。
√(M)＋√(N)＝√(M+N＋２√(MN))です。
B＝√((１±√(3)i)/2)であり、任意でM＋N＝1/2, 2√(MN)=(√(-3))/2と置く。
M+N＝1/2、４MN＝-3/4、MN＝-3/16。
M＝1/2-NをMN=-3/16に代入する。
(1/2-N)N=-3/16であり、展開すると、N²-N/2-3/16=0であり、解の公式によりN=(1/2±√(1/4+3/4))/2=(1/2±1)/2となる。
計算すると、N=(3/4,-1/4)、M=(-1/4,3/4)となります。
B=√(3/4)+√(-1/4)=(√(3)-i)/2となる。A=…Aを解いてみよう。
(A,B)=(√(3)+i)/2, ((-√(3)+i)/2)
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