こんにちは。Inishie Once-in-a-Lifetime Chanceブログのいにしえ時渡です。今回は、素数についての話ですが、僕が素数の式を見つけたかもしれないという話です。
素数の式で一番最初に思いつくのはa^2+b^2の式でしょう。ちなみにa^2はaを2回掛けたことを表し、a^3ならばaを三回かけたことになります。
僕は以前からa^2-b^2-c^2が素数の式ではないかと疑っていました。確信を持って言えないので、もやもやした気分でした。
a^2+b^2の式は全ての1mod4の素数が出ます。しかし、3mod4の素数は出ません。ちなみに、1mod4とは4で割った余りが1であることを意味し、3mod4とは4で割った余りが3であることを意味します。
なぜ、1mod4しか出ないかというと、a^2に０、１，２，３をそれぞれ代入してみると、0^2=0、1^2=1、2^2=4、3^2=9となります。それぞれmod4つまり4で割った余りを見てみると、0mod4、1mod4、0mod4、1mod4となります。
０，１，２，３と順番に見てきましたが、続きの４，５，６、７もその２乗のmod4は０，１，０，１となります。この４，５，６，７あるいは、それ以降の数値もmod4すれば、０mod4，１mod4，２mod4，３mod4のどれかとなりますので、その２乗はそれぞれ0mod4、1mod4、0mod4、1mod4です。
a^2 mod4は0か1なので、a^2+b^2は(0+0)、(0+1)、(1+0)、(1+1)のどれかとなります。実際、これは、0,1,2のどれかなので3以外となります。ちなみに、4は0mod4なので、mod4つまり4で割った余りとしては4と0は同じ0mod4となります。
つまり、a^2+b^2=3mod4は存在しないのです。少なくとも整数では。
そこで、a^2+b^2の符号を変えてみます。a^2 – b^2は全ての合成数つまり掛け算の積が出ます。素数は2,3,5,7といったそれ自身とでしか割り切れない数ですが、合成数は15や35のように5×3や5×7といった２つ以上の整数の掛けたものと言えます。
ここで、a^2 – b^2=(a+b)(a-b)なので条件はあるのですが、全ての合成数が出ることになります。条件とは、aとbの差が1のとき、例えば4^2- 3^2 = 7といったように素数が出てくる場合もあります。aとbの差が２以上であり、かつaもbも0でない整数ならば、合成数が出てきます。
例えば、5^2 – 3^3 = 16、7^2 – 2^2 = 45です。
先ほど、最初のa^2+b^2という式をa^2 – b^2と符号を+から-に逆転させましたが、符号を変えると反対の数値が出るようになります。例えば4a+1を4a-1に変えると、4a+1=1,5,9,13,17,21,…であり、4a-1=3,7,11,15,19,23,…と4a+1に存在しなかった奇数が4a-1には現れるようになります。
今までの話であれば、a^2+b^2は1mod4の全ての素数を含み、a^2-b^2は条件はありますが、全ての合成数を含みます。a^2 – b^2が合成数であったのに対して、その符号を逆転することで、合成数とは反対の1mod4の素数が出現するようになるのです。
では、合成数の式を符号を変えることで反転させたのに、なぜ3mod4の素数の式は出ないのか。これはa^2 – b^2と、a^2 + b^2でb^2の符号は変わりましたが、a^2の符号が変わっていないからです。
もし、a^2 – b^2の合成数の式をa^2+b^2の1mod4の素数の式に変え、さらにa^2の符号を変えると、-a^2+b^2となり、a^2-b^2の式と本質的には変わりません。だからといって、a^2の符号もb^2の符号も＋からーにしてしまうと、- a^2 – b^2となり、負の値になってしまいます。
つまり、a^2とb^2だけの関係性からは3mod4の素数は存在しないのです。
では、どうするか。ここで、合成数の式を符号ではなく、素数か合成数かで逆転してみます。a^2 – b^2はb^2が合成数なので、b^2を素数pで置き換えてみます。a^2- p となりますが、ここで、この式を奇数である素数とするには、a^2が0mod4である必要があります。
つまり、0mod4から、1mod4の素数か3mod4の素数を引くと、0mod4-1mod4=3mod4、0mod4-3mod4=1mod4となります。ちなみに、0mod4-1mod4は3mod4ですが、本質的にmod4で同じであり、４で割った余りに-1mod4=3mod4=7mod4などがあります。
ここでは3mod4の素数を出したいのでa^2 – pのpに1mod4の素数式つまり、b^2+c^2を代入することでa^2 – p = 0mod4 – 1mod4 = 3mod4の素数を出します。このa, b, cがコロコロ入れ替わっているのは、a^2+b^2でもb^2+c^2でも本質的には2乗したもの同士の足し算なので同じだからです。他の人が見て分かるもので、同じアルファベットが重ならなければコロコロ入れ替えても問題ありません。
ちなみに、a^2+b^2とa^2-b^2は本質的に足し算と引き算なので違うので、そこだけは注意してください。
さて、pにb^2+c^2を代入するとa^2 – (b^2 + c^2)となります。式を展開すると、a^2 – b^2 – c^2となり、冒頭で述べていた素数式となります。ちなみに、a^2は0mod4である必要がありaは偶数です。b^2+c^2はbとcの組み合わせが偶数と奇数あるいは奇数と偶数なので本質的に同じです。つまり0mod4+1mod4なので、b^2+c^2を偶数と奇数で固定すると、a^2 – b^2 – c^2 = 偶数^2 – 偶数^2 – 奇数^2となります。
偶数は2aと2b、奇数 は2c+1と表せるので、(2a)^2-(2b)^2-(2c+1)^2となり、これが3mod4の素数式となります。1mod4の素数式はa^2+b^2なので、1mod4の素数と3mod4の素数つまり全ての素数の式を表せるようになりました。ちなみに、素数の2は放置しておきましょう。
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